Question

已知an=n/(n2+156)(n∈N*),则数列｛an｝的最大项是

本人知道答案.但为什么当n=156/n时.分母就最小了？而不是n=其他的值？

Answer 1

已知an=n/(n2+156) (n∈N*)，则在数列{an}的最大项为？
解：an=n/(n^2+156)
=1/(n+156/n)
而n+156/n>=2*√156
当且仅当 n=156/n即n=√156约等于12.5时取等
由y=x+t/x的性质可知数列最大项为数列第十二项和第十三项的最大值，比较得
n=12时,a12=12/(12^2+156)=12/300=1/25
n=13时，a13=13/(169+156)=13/325=1/25
所以，n=12,或，n=13时，an最大，为1/25
a12=a13=1/25=0.04
即最大项为第十二项和第十三项。

追问

大师貌似答非所问

追答

亲~怎么了呢？

追问

同上楼

追答

抱歉 不明白

Answer 2

an=n/(n²+156)
=1/(n+156/n)
≤1/2√156
=1/4√39
当且仅当n=156/n,即n=√156时，等号取到。。。。。。。。。。a+b≥2√ab的等号成立条件是a=b
而n是正整数
∵√144＜√156＜√169
又a12=12/(144+156)=12/300=1/25
a13=13/(169+156)=13/325=1/25
∴n=12或13时，an取最大值

追问

为什么当n=156/n时.分母就最小了？而不是n=其他的值？

追答

第一种理解:

基本不等式:a+b≥2√ab,a=b时取到等号

第二种理解:

对勾函数：y=x+a/x,a＞0

由图像可知在x=a/x时，有最小值