Question

如图.三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点.延长DA至点E.使CE=CD。

（1）求证：AE=BD；（2）若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC。
注意（第二题是若AD+BD=√2CD,求证AC⊥BC。请看清楚在回答，谢谢。）

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD；
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD．
（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=根号2CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=根号2CD．

追问

都说了看清楚的嘛。

Answer 2

（1）

 ∵CE=CD   AC=BC   ∠CAE=∠ADC+∠ACD=∠ABC+∠ABD=∠CBD（三角形外角及圆周角定理）

 ∴△ACE ≌△BCD

AE=BD

 

（2）

 ∵△ACE ≌△BCD

       AE=BD            ∠ACE=∠BCD

AD+BD=AD+AE=DE=√2CD

DE^2=2CD^2=CD^2+CE^2(符合勾股定理边与边的关系)

∠DCE=90（DE对边为直角）

∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠BCD=90

∴AC⊥BC