Question

第二问。。。

Answer 1

(1)配方易知圆C：(x-2)^2+(y-6)^2=4^2
表明圆心为(2,6)，半径为r=4
假设直线L的斜率存在（即不垂直于x轴）
由点斜式令直线L：y=kx+5，即kx-y+5=0
则由点到直线距离公式得圆心到直线L的距离（弦心距）为
d=|2k-6+5|/√(k^2+1)=|2k-1|/√(k^2+1)

过圆心O向AB作垂线交AB于D
则OAD为直角三角形，且OD=d，OA=r=4，AD=AB/2=2√3
由勾股定理有(2√3)^2+[|2k-1|/√(k^2+1)]^2=4^2
即k=-3/4

所以直线L的方程为y=-(3/4)x+5

(2)假设直线L的斜率存在（即不垂直于x轴）
由点斜式令直线L：y=kx+5
联立圆C方程有(1+k^2)x^2+(4-2k)x-11=0
令直线L与圆C的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)
由韦达定理有x1+x2=(2k-4)/(1+k^2)
因A、B均在直线L上
则y1=kx1+5，y2=kx2+5
于是y1+y2=k(x1+x2)+10=(12k^2-4k+10)/(1+k^2)

令AB中点M坐标为(m,n)
则由中点坐标公式有
m=(x1+x2)/2=(k-2)/(1+k^2)（I）
n=(y1+y2)/2=(6k^2-2k+5)/(1+k^2)（II）
由（II）得n=[6(1+k^2)-2k-1]/(1+k^2)
即6-n=(2k+1)/(1+k^2)（III）
由（I）/（III）得k=(-m+2n-12)/(2m+n-6)
代入（I）得m^2+n^2-2m-11n+30=0

验证：当直线L的斜率不存在（即垂直于x轴）时
根据圆的对称性易知AB中点M与圆C的圆心等高
则AB中点M的坐标为(0,6)
显然坐标(0,6)满足方程m^2+n^2-2m-11n+30=0

综上所述，AB中点M轨迹为：x^2+y^2-2x-11y+30=0

第二问还可以这样来考虑：
根据AB中点分布情况，大致可确定它的轨迹为有心曲线
不妨令AB中点M的轨迹为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
显然有三个明确的点是在轨迹上的：
第一个是P点本身
第二个点是当直线L与x轴垂直时，AB的中点
第三个点是圆C的圆心
所以坐标(0,5)、(0,6)、(2,6)满足上述方程
由此求得D=-2，E=-11，F=30