已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c
,0),若椭圆上存在一点P使a/sin角PF1F2=c/sin角PF2F1,则椭圆的离心率的取值范围为?答案是(根号2-1,1).请写出详细过程.谢谢....
,0),若椭圆上存在一点P使a/sin角PF1F2=c/sin角PF2F1,则椭圆的离心率的取值范围为?答案是(根号2-1,1).请写出详细过程.谢谢.
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解：e=c/a=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2=PF1/PF2(利用正弦定理),所以PF1=ePF2.
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a-c<PF2<a+c,(点P趋近于左端点时PF2趋近于a-c，趋近于右端点时PF2趋近于a+c)
即a-c<2c/[e(e+1)] <a+c,即1-e<2e/[e(e+1)] <1+e
∴√2-1<e<1
综上，e的范围为(√2-1,1).
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a-c<PF2<a+c,(点P趋近于左端点时PF2趋近于a-c，趋近于右端点时PF2趋近于a+c)
即a-c<2c/[e(e+1)] <a+c,即1-e<2e/[e(e+1)] <1+e
∴√2-1<e<1
综上，e的范围为(√2-1,1).
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