Question

已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.求函数的单调区间和极值

Answer 1

设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1e-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． （e 为自然常数，约等于2.718281828459）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于0（小于0），从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x）max，得到m的范围；
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，构造函数g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，确定函数g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，从而问题等价于只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，故可求．解答：解：（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)=2[(x+1)-1x+1]=2x(x+2)x+1，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由f′(x)=2x(x+2)x+1=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[1e-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）
又f(1e-1)=1e2+2，f(e-1)=e2-2，且e2-2＞1e2+2
∴x∈[1e-1，e-1]时，[f（x）]max=e2-2，
故m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则g′(x)=1-21+x=x-1x+1
由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增 （11分）
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有{g(0)≥0，g(1)＜0，g(2)≥0.解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查了方程根的讨论．解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．