Question

高中一道数学题

数列｛an｝满足an=2an-1+2^n+1（n＞1，n属于N），a3=27
求数列｛an｝的前n项和Sn

Answer 1

数列｛an｝满足an=2an-1+2^n+1
∵an-2an-1=2^n+1
∴a2-2a1=2×2+1=5
a3-2a2=2×3+1=7
a4-2a3=9
……
an-2an-1=2^n+1
累加：-（a1+a1+a2+a3+……an）=（5+2^n+1）（n-1）/2
-（a1+Sn）=（5+2^n+1）（n-1）/2
因为a3=21所以a1=2
Sn=-2-（5+2^n+1）（n-1）/2

Answer 2

兄弟，你题错了，我看了100多道这样的题。
改为：an=-2a(n-1)+2^n+1
改一个符号。
有a3=27，得a2=-9.a1=7.
变为an-1-0.5×2^n=-2(a(n-1)-1-0.5×2^(n-1))
an-1-0.5×2^n是公比-2，等比数列。
(参照数学解题题典387页，218题。)
a1-1-0.5×2=7-2=5
an-1-0.5×2^n=5×(1-(-2)^n)／(1-(-2))=5(1-(-2)^n)／3
an=5(1-(-2)^n)／3+1+0.5×2^n
又 an=-2a(n-1)+2^n+1.
a2+2a1=2^2+1
a3+2a2=2^3+1
.........................
an+2a(n-1)=2^n+1
累加
Sn-a1+2(Sn-an)=2^2+2^3+....+2^n+n-1.
3Sn-2an=2+2^2+2^3+...+2^n+n-1+5 （a1=7=2+5）
将上面an代入上式得
Sn=2^n+n／3+4／3+10／3(-2)^(n-1).

Answer 3

因为a[n]=2a[n-1]+2^n+1,所以a[n]-2^(n+1)+1=2a[n-1]-2^n+2,
所以{a[n]-2^(n+1)+1}/2^n={2a[n-1]-2^n+1}/2^(n-1)
即{a[n]+1}/2^n-2={a[n-1]+1}/2^(n-1)-2
所以b[n]={a[n]+1}/2^n-2是常数列,所以{a[n]+1}/2^n-2={a[3]+1}/2^3-2=3/2,
所以a[n]=7*2^(n-1)-1,所以S[n]=a[1]+a[2]+....+a[n]=7*{2^0+2^1+...+2^(n-1)}-n
=7*2^n-7-n

Answer 4

(an-2×2^n+1)=2(an-1-2×2^n-1=1)
∴an-2×2^n+1为等比数列
∴an-2×2^n+1=（a3-2×2^3-1）×2^(n-3)=5×2^(n-2)
∴an=13×2^(n-2)-1