Question

已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x

)成立；(2)当x∈(1，2]时，
f(x)=2-x。给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，+∞)；③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；
④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z， 使得(a，b)(2k，2k+1)”；
其中所有正确结论的序号是（ ）。

Answer 1

解：①f（2m）=f（2•2m-1）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2）=0，正确；

②取x∈（2m，2m+1），则x 2m ∈（1，2]；f（x 2m ）=2-x 2m ，f（x 2 ）=…=2m（x 2m ）=2m+1-x从而f（x）∈[0，+∞），正确
③f（2n+1）=2n+1-2n-1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，2x1-2x2=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
④根据③的分析容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①②④．

故答案为①②④

追问

2f（2m-1）=…=2m-1f（2）是怎么推出来的啊

追答

我吧图画出来，一直利用第一个关系 得出2f（2m-1）=4f（2m-2）=8f（2m-3）。。。。。=2m-1f（2）

又因为f（2）=0  所以等于0