Question

f(x)=ax^3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=____

f(x)=ax^3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=____
答案是4, 请详细过程

Answer 1

f'=3ax^2-3=3(ax^2-1)
若a<0,f'<0,f(x)递减，则要x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，只要f(1)>=0即可，得a>=2.矛盾
若0<a<1,则对于x∈[-1,1],有ax^2-1<=a-1<0,f'<0，同上可得a>=2,矛盾
若a=0，f(x)=1-3x,显然f(1)=-2<0
若a>1,则f'在[-1/根号a,1/根号a]上<0,在[-1,-1/根号a],[1/根号a,1]上f'>0
画一个单调的图可知，只要f(-1)>=0,f(1/根号a)>=0即可
f(-1)=-a+4>=0,得a<=4
f(1/根号a)=-2/根号a+1>=0,得a>=4
则a=4