Question

已知定义域为R的函数f（x)=(-2^x +a)/（2^x +1)是奇函数 1.求实数a的值 2.判断其单调性

3.设函数F(x）=f((4^x)-b)+f(2^(x+1))有零点，求b的取值范围

Answer 1

(1)
f(-x)=f(x)
a*2^x-1=2^x-a
a(2^x+1)=2^x+1
a=1

(2)
f(x)=(1-2^x)/(1+2^x)
f(x)=[(1+2^x)-2*2^x]/(1+2^x)
f(x)=1-2^x/(1+2^x)=1-1/(1/(2^x)+1)
故在定义域上单调减

(3)
F(x)=f((4^x)-b)+f(2^(x+1))有零点
<=> f((4^x)-b)+f(2^(x+1))=0 有实数解
<=> f((4^x)-b)=-f(2^(x+1))
<=> f((4^x)-b)=f(-2^(x+1))
f(x)为R上单调函数，故
4^x-b=-2^(x+1) 有实数解
b=2^x(2^x+2) 有实数解
设t=2^x (t>0)
t^2+2t-b=0 (t>0)有实数解
设g(x)=x^2+2x-b，在x=-1有最小值
故令g(x)=0在(0, +∞)上有实根，则g(0)<0
故b>0
(0, +∞)

Answer 2

1、定义域为R的函数f（x)=(-2^x +a)/（2^x +1)是奇函数
f(0)=0
a=3
2.函数f（x)=(-2^x +3)/（2^x +1)
任取x1<x2
f(x1)-f(x2)=(-2^x1+3)/（2^x1+1)-(-2^x2+3)/（2^x2+1)
=[2(2^x1-2^x2)]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]<0
f(x)在R上单调递增
3.存在x使F(x）=f((4^x)-b)+f(2^(x+1))=0
则有f((4^x)-b)=-f(2^(x+1)）
因为f(x)为奇函数
所以(4^x)-b=-2^(x+1)
b=(2^x)²+2*（2^x）=[(2^x)+1]²-1
又2^x>0 所以b>0