Question

已知函数f(x)={(3a-1)x+4a,x<1;a^x,x>=1}是R上的单调减函数，则a的取值范围是

过程

Answer 1

分段函数在 R 上减，要求每段都是减函数，并且在分段处，左侧的值不小于右侧的值。
所以有（1）左侧一次函数是减函数，则 3a-1<0 ；
（2）右侧指数函数是减函数，则 0<a<1 ；
（3）在 x=1 处，左侧的值不小于右侧的值，则 3a-1+4a>=a ；
分别解以上三个不等式，得 a<1/3 ；0<a<1 ；a>=1/6 ，
取交集得 a 取值范围为 [1/6，1/3）。

Answer 2

解首先由
函数f(x)={(3a-1)x+4a,x<1;a^x,x>=1}是R上的单调减函数
则当x<1时，函数f(x)=(3a-1)x+4a,是减函数，
即3a-1＜0
即a＜1/3
其次保证当x<1时，函数f(x)=(3a-1)x+4a的最小值
f（1）大于等于当x＞1时，函数f(x)=a^x,x>=1的最大值f（1）=a^1
即(3a-1)×1+4a≥a^1
即3a-1+4a≥a
即6a≥1
即a≥1/6
即1/6≤a＜1/3。

Answer 3

由第一个函数知斜率（3a-1）＜0才能保证单调递减，即a＜1/3。由第二个指数函数知0＜a＜1才会单调递减，结果：0＜a＜1/3，建议下次带分提问