Question

二次函数y ax2+bx+c的图像与x轴交于点A(-8,0),B(2,0)，与Y轴交于点C，∩ACB=90°

1、求二次函数的解析式
2、求二次函数的图像的顶点坐标

Answer 1

解由题知OA=8,OB=2
在RTΔABC中
OC^2=OA*OB=8*2=16
即OC=4
故C(0,4)
由二次函数的图像与x轴交于点A(-8,0),B(2,0)
设二次函数为y=a（x+8）（x-2）
又由图像过点C(0,4)
则a（0+8）（0-2）=4
解得a=-1/4
故二次函数为
y=-1/4(x+8）（x-2）
=-1/4x^2-3/2x+4
2由1知函数的对称轴x=-（-3/2)/2(-1/4)=-3
当x=-3时，y=25/4
故函数图像的顶点为（-3，25/4）。

Answer 2

从A、B坐标，可知对称轴x=-3
可设y=a(x+8)(x-2)
C(0,-16a)
由∠ACB=90°，可知AC⊥BC，可利用向量垂直，点积为零
向量AC=(8,-16a),向量BC=(-2,-16a)
则-16+16^2a^2=0
a=1/4(舍) or -1/4
y=-1/4(x+8)(x-2)
顶点(-3,25/4)

Answer 3

解：由oc/ao=ob/oc,知C(0,4)，将此点与已知的A、B点代入方程：y=ax^2+bx+c,可得。
2解：顶点坐标x=(-8+2)/2=-3,将x=-3代入上述方程可求顶点的纵坐标。