Question

证明下列极限不存在: 1.lim xy／(x^2+y^2) x→0 y→0

证明下列极限不存在: 1.lim xy／(x^2+y^2) x→0 y→0 2.lim (x^2*y^2)／(x^2*y^2+(x-y)^2) x→0 y→0

Answer 1

不懂的话还可以问我。

Answer 2

设沿 y = kx 逐渐向原点趋近，则：

1. lim (xy)/(x^2 + y^2)

   =lim kx^2 /[(k+1) * x^2]

   =lim k/(k+1)

   可见，这个极限值与趋近原点所走的路径有关。所以，极限不存在；

2. 同理：

   lim (x^2 * y^2)/[(x^2 * y^2) + (x - y)^2]

   =lim (k^2 * x^4) /[k^2 * x^4 + (k-1)^2 * x^2]

   =lim k^2 * x^2 /[k^2 * x^2 + (k -1)^2]

   = 0 （当 k ≠ 1 时）

   或 = 1 （当 k = 1 时）

   因此，极限也不存在！