Question

刘老师 您好。为什么一个线性变换的特征多项式会有重根，重根代表什么几何意义

比如一个三级矩阵 [1,1,1;2,2,2;3,3,3]，那么它只有一个特征值不为零，因为线性变换的矩阵的秩为1，这又是为什么

Answer 1

线性变换的特征多项式会有重根，这没有什么奇怪，线性变换的特征多项式就是一个一元多项式，多项式的根就是令多项式等于0所得的方程的根，我们知道方程是可以有重根的。比如方程(x-1)^3=0是一个三次方程，三次方程在复数域内必有三个根，而这个方程的三个根都等于1，故称为三重根。特征多项式重根的重数称为代数重数，它本身并不代表什么几何意义。
注意：是几何重数小于或等于代数重数，而不是代数重数小于等于几何重数。

代数重数指的是特征多项式的根的重数
几何重数则指的是抽象空间的几何图形在某一点的重数。
比如两个圆相切，则切点的几何重数就是二，再比如三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三。
在这里，几何重数通常指的是特征子空间的维数，即该特征子空间中所含极大线性无关组的向量的个数。由于几何重数小于或等于代数重数，故当几何重数小于代数重数时，矩阵的线性无关的特征向量的个数就会小于矩阵阶数，故矩阵不可以对角化。

追问

对 应该是几何重数小于代数重数，当相等的时候就是该线性变换具有完全特征向量系。上面是我手误 写错了，谢谢解答~ ~

追答

You're welcome！

Answer 2

如果特征值是单根，表示它的特征向量都线性相关。如果特征值是k重根，表示它的特征向量将最多有k个线性无关的向量。

Answer 3

重根（n重）代表属于重根的特征子空间是n重的

追问

那这有什么几何意义吗？

追答

特征子空间就是几何意义

追问

你说的也不对吧，代数重数应该是小于等于几何重数的。相等的时候就是可对角化的情况