Question

如图三角形ABC中，角BAC等于60度，角ABC、角ACB的平分线交于E，D是AE延长线一点，且角

如图三角形ABC中，角BAC等于60度，角ABC、角ACB的平分线交于E，D是AE延长线一点，且角BDC等于120度，求证BD=DE=DC。用角度来做。急急急急！

Answer 1

过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，

解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠EBC=二分之一∠ABC，∠ECB=二分之一∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=二分之一（∠ABC+∠ACB）=二分之一×120°=60°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故：∠BEC=120

如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴AD为∠BAC的平分线，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120

又∵∠BDC=120°，∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，

∠BFD＝∠CGD＝90°DF＝DG∠BDF＝∠CDG

∴△BDF≌△CDG（ASA），
∴DB=CD，
∴∠DBC=二分之一（180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC∴∠ABE=∠CBE，

∠BAE=二分之一

∠BAC=30°

根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，
∴∠BDE=2∠BCE

 

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