Question

求解微分方程组(如有Mathematica程序也可）

m*(d^2x/dt^2)=k(y-x)-umg
-2m*(d^2y/dt^2)=k(y-x)-2umg
初始条件 t=0,x=0, y=2a
(m,a,g,k,t均为常数)
m,a,g,k,u均为常数 改一下 问一下Mathematica高手，怎么把x'[0]=0,y'[0]=0的初始条件打进代码里？

Answer 1

m*(d^2x/dt^2)=k(y-x)-umg (1)
-2m*(d^2y/dt^2)=k(y-x)-2umg (2)
(1)-(2),得 (d^2y/dt^2)=(-1/2)*(d^2x/dt^2)+(1/2)*ug (3)
两边积分可得x与y关系，然后代入（1）和（2）求解，但初始条件还需t=0时的x'和y',所以补全条件才能继续求解。请楼主检查

Answer 2

Mathematica代码：
DSolve[{m*x''[t] == k (y[t] - x[t]) - u m g, -2 m*y''[t] == k (y[t] - x[t]) - 2 u m g, x[0] == 0, y[0] == 2 a}, {x[t], y[t]}, t] // FullSimplify

Answer 3

DSolve[{m*x''[t] == k*(y[t] - x[t]) - u*m*g, -2 m*y''[t] == k*(y[t] - x[t]) - 2 u*m*g, x'[0] == 0, y'[0] == 0, x[0] == 0, y[0] == 2 a}, {x[t], y[t]}, {t}]

Answer 4

In[4]:= DSolve[{m*x''[t]==k(y[t]-x[t])-u*m*g,-2m*y''[t]==k(y[t]-x[t])-2u*m*g,x[0]==0,y[0]==2*a},{x[t],y[t]},t]//Simplify
Out[4]= {{x[t]->(E^(-((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])) (-12 a (-1+E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]))^2 k+g (8 (-1+E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]))^2 m+3 E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]) k t^2) u+2 Sqrt[k] (-I Sqrt[6] (-1+E^((I Sqrt[6] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])) Sqrt[m] (C[2]-C[4])+3 E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]) Sqrt[k] t (C[2]+2 C[4]))))/(18 k),y[t]->(E^(-((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])) (6 a (1+4 E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])+E^((I Sqrt[6] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])) k-g (4 (-1+E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]))^2 m-3 E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]) k t^2) u+Sqrt[k] (I Sqrt[6] (-1+E^((I Sqrt[6] Sqrt[k] t)/Sqrt[m])) Sqrt[m] (C[2]-C[4])+6 E^((I Sqrt[3/2] Sqrt[k] t)/Sqrt[m]) Sqrt[k] t (C[2]+2 C[4]))))/(18 k)}}