Question

如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,垂足分别为点D,E

⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer 1

（1） 因为∠BAD+∠ABD=90°
又∠BAC=90°
所以∠BAD+∠CAE=90°
所以∠ABD=∠CAE
又△ABD和△CAE是直角三角形 AB=AC
所以△ABD全等于△CAE(AAS）
所以AE=BD CE=AD
又因为DE=AD+AE
所以DE=BD+CE
（2）由题意得出：
∠BAD+∠ABD=∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠CAE
所以∠ABD=∠CAE
又∠BDA=∠AEC
同理可证△ABD全等于△CAE（AAS）
所以DE=BD+CE 成立。
（3）通过问题（2）可证明出△ABD全等于△CAE。
所以CE=AD
∠BAD=∠AEC
又△ABF和△ACF为等边三角形 且有公共边
所以CF=AF ∠DAF=∠ECF
所以△FDA全等于△FEC
所以FD=FE
所以△DEF是等腰三角形

我想证是等边的 但是想半天还是没想出来 没得法了