Question

a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a

求 (a+b)(c+b)(a+c)/abc的值。

现在已知此题答案为8或-1，我只知道8是怎么算的，求解-1是怎么得到的？

Answer 1

解：

a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a

（a＋b）/c-1=（a＋c）/b-1=（b＋c）/a-1

（a＋b）/c=（a＋c）/b=（b＋c）/a

设（a＋b）/c=（a＋c）/b=（b＋c）/a=k，则

     a＋b=ck……①
     a＋c=bk……②
     b＋c=ak……③
①＋②＋③得：
    2（a＋b＋c）=（a＋b＋c）k
    （a＋b＋c）（2-k）=0
（1）当a＋b＋c=0时
    a＋b=-c   a＋c=-b    b＋c=-a
 于是（a＋b）（a＋c）（b＋c）/abc
    =（-c）（-b）（-a）/abc
    =-1
（2）当2-k=0时，k=2
     a＋b=2c   a＋c=2b   b＋c=2a
 于是（a＋b）（a＋c）（b＋c）/abc
     =2c·2b·2a/abc
     =8

图片格式

Answer 2

设原式=k
得到a+b-c=ck,a-b+c=bk,b+c-a=ak
三个式子相加得a+b+c=(a+b+c)k
如果a+b+c=0则a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,答案等于-1
如果a+b+c不=0则k=1,所以a+b=2c,a+c=2b,b-c=2a答案等于8

Answer 3

a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a=k
a+b-c=kc
a-b+c=kb
-a+b+c=ka
相加
（a+b+c)=k(a+b+c)
k=1 或a+b+c=0
当a+b+c=0
(a+b)(c+b)(a+c)/abc
=-abc/abc
=-1