Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,当n≥2时,点(1/S(n-1),1/Sn)在f(x)=x+2的图像上,且S1=1/2

（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=2（1-n）an，求f（n）=b（n+2）/（n+5）b（n+1）的最大值及相应的n值
（3）当n≥2时，设Tn=b2^2+b3^2+...+b（n+1）^2，证明Tn＜1

Answer 1

设数列a(N) 由已知有a>0
其中a(1)=a (这里就是数列首项a1，括号中的1是角标，后面的也是)
则a(n+1)=a(n)^0.5+a

有a(1)=a＜a+1/2+(a+1/4)^0.5 (这个上限我是通过后面求极限求出来的)
a(2)=[a(1)]^.5+a＜[a+1/2+(a+1/4)^0.5]^0.5+a＝a+1/2+(a+1/4)^0.5
（这里有(1/2+(a+1/4))2=a+1/2+(a+1/4)^0.5）
同理a(n)＜a+1/2+(a+1/4)^0.5

对a(n+1)求导
a(n+1)'=1/{2[a(n-1)]^0.5}＞0
故a(n)单调递增

综上，数列单调递增有上限
因此数列存在极限，设这个极限为A
由a(n+1)=a(n)^0.5+a两侧取极限有
A=A^0.5+a
解得A=a+1/2+(a+1/4)^0.5

（注：这个极限就是上面我用的上限了，应该还有容易看出来的上限吧，不过反正这个极限是要求的，直接用也比较方便）

所以你求的极限就是a+1/2+(a+1/4)^0.5
如果你最后的n重外面没有a的话，结果就是1/2+(a+1/4)^0.5

（注：就此题而言下面的你可以无视。
这个结果我用Excel验证过，应该没有问题，Excel递推20项之内就能推出极限，不过表达式还是要自己算的。）

Answer 2

（1）因为
点(1/S(n-1),1/Sn)在f(x)=x+2的图像上
所以
1/S(n-1)+2=1/Sn
所以数列1/Sn是以1／S1为首项，2为公差的等差数列
所以1／S1=2＋2×（n－1）
·=2n
所以Sn=1／2n （1式）
S(n-1)=1／2（n－1） （2式）
1式－2式得
Sn- S(n-1)=an= 1／2n- 1／2（n－1）