Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形

Answer 1

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥平面ADMN.

追答

证明：
（1）连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG（3分）
∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，
∴MG为△PAC的中位线．
因此M为PC的中点．（5分）

（2）取AD中点O，连接PO，BO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以，PO⊥平面ABCD，（7分）
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB．
∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系 {OA→，OB→，OP→}（7分）
则A（1，0，0）， B(0，3，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，3)
∴ DP→=(1，0，3)，AB→=(-1，3，0)
∴ DM→=12(DP→+DC→)=12(DP→+AB→)=(0，32，32)（9分）
BP→=(0，-3，3)，CB→=DA→=（2，0，0）
∴ DM→•BP→=0-32+32=0，DM→•CB→=0+0+0=0
∴DM⊥BP，DM⊥CB（11分）
∴DM⊥平面PBC，又DM⊂平面ADM，
∴面ADM⊥面PBC（12分）