Question

什么叫曲率？

曲率这个词怎么解释？

Answer 1

曲率的概念及计算公式

概念

来源：为了平衡曲线的弯曲程度。

平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。

例：对于圆，。所以：圆周的曲率为，是常数。

而直线上，所以，即直线“不弯曲”。

对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。

计算公式的推导：

由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）

因为，所以。

令，同时用代替得

所以或

具体表示；

1、时，

2、时，

3、时，（令）

再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。

下面将与ds代入公式中：

，即为曲率的计算公式。

曲率半径：

一般称为曲线在某一点的曲率半径。

几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）

Answer 2

曲率

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。

曲率的倒数就是曲率半径。

Answer 3