Question

高一几何题

在四棱锥P-ABCD中,PA=PB。底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,点E在棱PD上，满足DE=2PE，点M是AB中点。

求证：直线PB∥面EMC

Answer 1

连接MQ,B1Q辅助线
(1)设AC=BC=C1C=a(三线两两垂直)
显然ABC是等腰直角三角形CQ是AB上的高=AQ=BQ=a/√2
PA=a/2
所以直角三角形PAQ中PA/AQ=√2/2
直角三角形QBB1中QB/BB1=√2/2
两三角形直角边等比 所以相似
∠PQA=∠BB1Q=90°-∠BQB1
即∠PQA和∠BQB1互余(和为直角)
所以∠PQB1=90° 即PQ垂直于B1Q
又因平面ABC垂直于平面ABB1A1
所以CQ垂直于平面ABB1A1
所以CQ垂直于PQ
PQ同时垂直于CQ和B1Q 所以
PQ垂直于平面B1CQ
所以PQ垂直于B1CQ上的任何直线或线段
所以PQ⊥B1C 角度为90°

(2)可见三线可形成一个正方体,此直三菱柱是正方体体积一半
故a^3/2=1/2 所以a=1
显然ABB1A1面积为√2 所以ABB1P面积为3√2/4
CQ是四棱锥C-BAPB1在BAPB1底面上的高
体积为3√2/4 * √2/2 /3=1/4