Question

已知数列{an}中a1=2,a(n+1)=2-1/an,数列{bn}中bn=1/(an-1)

求证bn是等差数列
设Sn是数列{1/3bn}的前n项和，求1/s1+1/s2+1/s3+...+1/sn
设Tn是数列{(1/3)^n*bn}的前n项和，求证Tn<3/4
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Answer 1

1.
a(n+1)=2-1/an
a(n+1)-1=1-1/an=(an-1)/an
当ak=1时，a(k+1)=1,此时an=1,与a1=2矛盾，所以an-1≠0
所以1/[a(n+1)-1]=an/(an-1)成立
1/[a(n+1)-1]=an/(an-1)=1+1/(an-1)
1/[a(n+1)-1]-1/(an-1)=1
即b(n+1)-bn=1
……

2.
b1=1/(a1-1)-1
因b(n+1)-bn=1
所以bn=n
sn=(1/3)(b1+b2+b3+……+bn)=(1/3)(1/2)n(n+1)=(1/6)n(n+1)
1/sn=6/[n(n+1)]
1/s1+1/s2+1/s3+……1/sn=6{1/[1(1+1)]+1/[2(2+1)]+……+1/[n(n-1)]+1/[n(n+1)]}
=6{[1-1/2]+[1/2-1/3]+……+[1/(n-1)-1/n]+[1/n-1/(n+1)]}
=6[1-1/(n+1)]
=6n/(n+1)

3.
(1/3)^n*bn= [(1/3)^n]n
Tn=(1/3)*1+[(1/3)^2]2+[(1/3)^3]3+[(1/3)^4]4+……+[(1/3)^(n-1)](n-1)+[(1/3)^n]n
3Tn=1+(1/3)*2+[(1/3)^2]3+[(1/3)^3]4+[(1/3)^4]5+……+[(1/3)^(n-2)](n-1)+[(1/3)^(n-1)]n
相减：
2Tn=1+(1/3)+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+……+(1/3)^(n-2)+(1/3)^(n-1)-[(1/3)^n]n
=1+(1/3)+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+……+(1/3)^(n-2)+(1/3)^(n-1)-[(1/3)^n]n
=1*[(1/3)^n-1]/(1/3-1)-[(1/3)^n]n
=(3/2)[(1/3)^n-1]-[(1/3)^n]n
＜(3/2)[(1/3)^n-1]
＜(3/2)[(1/3)^n]
＜3/2
Tn＜3/4