Question

一道矩阵的问题

题目如下图所示

回答最好是用图片或者是编辑好的公式，不然手打的字符看起来太累了，谢谢！

Answer 1

下面的M^T表示M的转置。M^(-1)表示M的逆矩阵。

证明：
因为A是实对称矩阵，所以A一定可以对角化
即一定存在可逆矩阵M使得
(M^T)AM=∧=(λ1,λ2,.....λn)，其中λ1.......λn是A的n个特征值。
所以A=(M^T)^(-1)∧M^(-1)

设M^(-1)X=[b1,b2.......bn]^T
所以
(X^T)AX=(X^T)(M^T)^(-1)∧M^(-1)X=[(M^(-1)X)^T] ∧ [M^(-1)X]
=λ1b1^2+λ2b2^2+........+λnbn^2
因为X是任意的，所以b1...bn也是任意的。
对任意的b1...bn满足(X^T)AX=λ1b1^2+λ2b2^2+........+λnbn^2=0
所以λ1=λ2=.......=λn=0

所以A=0

Answer 2

取X=E，so easy！
脑子晕了吧，别想太复杂。