Question

MATLAB中计算定积分时可否将一个函数作为积分变量？

比如说我想计算：

其定积分确实可用图像求得，但是可否用MATLAB代码实现计算，谢谢

Answer 1

提供两种解法供参考。

 

1、解析解法

作变量置换t=1/x，则积分上限为1，下限为inf：

>> syms x t
>> f=(1+1/x)^x/x;
>> f_t=subs(f,x,1/t);
>> int(f_t,inf,1)
ans =
-Inf

代码在2007b和2013a上实测通过。

 

2、数值解法

直接对关于x的函数1/x求微分，但得到的函数表达式用解析方法无法得到显式解，所以，使用数值方法积分：

>> syms x
>> f=(1+1/x)^x/x;
>> f_x=eval(['@(x)' vectorize(f*diff(1/x))]);
>> integral(f_x,0,1)
ans =
  -Inf

其中integral是2012a版之后才引入的函数，早期的版本可以使用quadgk代替。

追问

用第二种方法求：

出现了问题。

我用的是 MATLAB R2010b，能否帮助解决一下，谢谢！

追答

我现在有点疑惑，积分上下限（0，0.25）究竟是指x，还是指x^2？

之前我理解为x，但现在觉得，也许之前理解错了。

追问

嗯，是x^2

追答

数值积分的函数在被积函数为常数时的确会出问题。原因是，在计算数值积分时，如果输入参数x是向量，被积函数一般是x的点运算形式，其返回的函数值应该也是向量，但如果函数的形式是标量常数，则返回的函数值只是一个标量，所以会导致错误。

 

避免这个错误的方法是，对于常数形式的函数，给额外加上一项与x有关的项，使之能够返回和输入相同维数的向量：

>> syms x
>> f=1/(2*x);
>> f_x=eval(['@(x)x*0+' vectorize(f*diff(x^2))]);
>> quadgk(f_x,0,sqrt(0.25))
ans =
    0.5000

Answer 2

1  用diff(1/x) 求出 (1/x) 的微分，

则可求相对于dx的被积函数-(1/x + 1)^x/x^3

syms x
((1+1/x)^x/x)*diff(1/x)

2  用数值积分求出的值。

F = @(x) -(1+1./x).^x./x.^3 ;
Q1 = quadgk(F,0,1)  %  积分下限为0
Q2 = quadgk(F,0.1,1)  %  积分下限为0.1
Q3 = quadgk(F,0.001,1)  %  积分下限为0.001

3    计算结果：

积分下限为0
Q1 = -Inf

积分下限为0.1
Q2 = -68.6335

积分下限为0.01
Q3 = -5.0597e+005

Answer 3

不能直接求，还是要变形成普通定积分。

追问

可以写一下代码吗？谢谢！

追答

做数学变形，这怎么写代码。。当然得自己动手算。
题主先把式子变成dx的积分，然后我才能写代码。

Answer 4

可以把d(1/x)改成 diff(1/x)dx, 但是为什么我转成dx还是求不出来？

Answer 5

可以的

追问

可以写一下代码吗？谢谢！