Question

x属于(-∞,1〕时,函数f(x)=1+2的x次方+(a-a方)4x次方的图像在x轴的上方，则a

取值范围

Answer 1

解：
令t=2^x，x∈(-∞,1]，则t∈(0,2]，
x∈(-∞,1]时,函数f(x)=1+2^x+(a-a^2)4^x的图象在x轴上方
〓（等价于）
当t∈(0,2]时，y=(a-a^2)t^2+t+1>0恒成立。
（1）当(a-a^2)=0，即a=0或a=1时，y=t+1在t∈(0,2]时y>0恒成立，
（2）当(a-a^2)≠0时，只要求出函数y=(a-a^2)t^2+t+1在(0,2]上的最小值
MIN（y），使MIN（y）>0即可。

当(a-a^2)<0即a<0或a>1时，由于y(0)=1>0,只需y(2)>0即可，也就是
4（(a-a^2)+3>0即4a^2-4a-3<0,解得：-1/2<a<3/2

当(a-a^2)>0即0<a<1时,对称轴t=1/(a^2-a)<0，
函数y=(a-a^2)t^2+t+1在(0,2]上单调递增，而y(0)=1>0,
因此y=(a-a^2)t^2+t+1>0在t∈(0,2]时恒成立，满足题意。

综上可知：x∈(-∞,1]时,函数f(x)=1+2^x+(a-a^2)4^x的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是(-1/2,3/2)。

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