Question

求解一道大一高数题，题目如图

Answer 1

1.对F(x)求导，得到F’（x）=f（x）g'(x)+f'(x)g(x)=f(x)^2+g(x)^2=(f(x)+g(x))^2-2f(x)g(x)=2e^x-2F(x)
所以令y=F（x），原式化为y‘+2y=2e^x
2.方程所对应的齐次方程为y’+2y=0
求解得dy/dx=-2y dy/y=-2x,所以lny=-2x+c1，y=c2e^(-2x)[c2=e^c1]，常数变易法，令通解为y=ve^(-2x)(v是以x变量的函数),求导y‘=v'e^(-2x)-2ve^(-2x),代入原方程求解，得v’=2e^(3x),所以v=2*e^（3x）/3+c3
所以微分方程通解为y=（2*e^（3x）/3+c3）*e^(-2x)=2*e^x/3+c3e^(-2x)