Question

1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6如何证明？

12;+22;+……+n2;=n(n+1)(2n+1)/6如何证明？

Answer 1

12;+22;+……+n2;=n(n+1)(2n+1)/6如何证明？ 楼上既然用立方差公式直接求出，那么我就用数学归纳法来证明一下。。。 证明： 当n=1时，左式=12;=1 右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1 所以，当n=1时，等式成立。 假设当n=k时，等式也成立，那么： 12;+22;+……+k2;=k(k+1)(2k+1)/6 则，当n=k+1时，左式 =12;+22;+……+k2;+(k+1)2; =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2; =(k+1)*[(2k2;+k)/6+(k+1)] =(k+1)*(2k2;+k+6k+6)/6 =[(k+1)/6]*(2k2;+7k+6) =[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2) =[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6 ={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6 所以，当n=k+1时，等式也成立 综上： 12;+22;+……+n2;=n(n+1)(2n+1)/6