Question

几个线性代数问题

1. 设A是3*4矩阵且秩为2,若非齐次线性方程组Ax=b有解,则解集合中线性无关的解向量的个数是多少?
2. 已知A与diag(1,1,-2)相似,则R(A-E)+R(2E+A)等于多少?
麻烦帮忙解释一下 谢啦~

Answer 1

1）3
Ax=0，由4-2=2,知解空间的维数是2，记为x和y
Ax=b有解，设一个解为z，则解集合中线性无关的解向量为z，z
+x，z+y
2）1+2=3
A~diag(1,1,-2)，则A-E~diag(1,1,-2)-E，2E+A~2E+diag(1,1,-2)，它们秩相等

Answer 2

2 A与diag(1,1,-2)相似 则A的特征值为1 1 -2
A-E的特征值则为 0,0,-3 则A-E的秩为1
同理 A+2E的特征值为 3 3 0 秩为2
所以所求的值为3