Question

函数证明题f（x+y)=f（x）f（y）

f(x)定义域为R 当X＞0时 f（x）＞1 且对任意x，y都有f（x+y)=f（x）f（y） 证f（x）在R上增函数

Answer 1

(1)令y=-x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)，以f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)，所以f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数 (2)当x,y>0时,f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x)，即f(x)在x>0上递减，所以f(x)在[-2005,2005]上递减，f(-2005)为最大值，f(2005)为最小值。 (3)原式<=>f(bx^2)/2+f(b)>f(x)+f(b^2x)/2 又因为f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)，所以f(x)=f(2x)/2, 所以原式<=>f(bx^2/2)+f(b)>f(x)+f(b^2x/2) <=>f(bx^2/2+b)>f(x+b^2x/2) 而f(x)递减， 所以原式<=>bx^2/2+b<x+b^2x/2 <=>bx^2/2-(b^2/2+1)x+b<0 这个方程的b^2-4ac=(b^2/2-1)^2>=0, 而已知b^2>=2,所以b^2/2-1>=0， 求得x1=2/b,x2=b，且由b^2>=2可知x1<x2， 所以2/b<x<b