Question

已知函数f（x）=x2—lnx—ax，a属于R. 当a=1时，（1）求f（x）的最小值 （2

已知函数f（x）=x2—lnx—ax，a属于R. 当a=1时，（1）求f（x）的最小值 （2）若f（x）>x恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1）当a=1时 f（x）=x^2-lnx-x f ’（x）=2x-1/x-1=（2x^2-1-x）/x 因为x>0 所以当f'(x)>0时，2x^2－1－x＞0, x>1 当f'(x)<0时，2x^2-1-x<0, 0<x<1
所以f(x)在（0,1）单减，在（1，+ ）单增。所以在1处取到最小值，f(1)=0
2)因为f(x)>x 恒成立，即 x^2-lnx-(a+1)x>0恒成立，所以a< (x^2-lnx-x)/x 恒成立 令H(x)=(x^2-lnx-x)/x
即a<H(x)min H'(x)=1-(1-lnx)/x^2 =(x^2-1+lnx)/x^2 因为x^2>0所以H'(x)>0 时，x^2-1+lnx>0 , x>1
H'(x)<0 时,x^2-1+lnx<0,0<x<1 所以H(x)在（0,1）单减，在（1，+ ）单增。所以在1处取到最小值，H(1)=0 所以a<0