Question

a是正整数，且a²+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值

Answer 1

已知a是正整数，且a²+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值。

解：依题意设a²+2004a=m²，m为正整数，整理为：
a²+2004a-m²=0
把上式看作一个关于a的一元二次方程，直接由求根公式得出：
a=[-2004±√(2004²+4m²)]/2
=-1002±√(1002²+m²)
其中负值舍去，所以只能是：
a=-1002+√(1002²+m²)
可以看作，要使a最大，就要使m最大即可，由于a是正整数，所以(1002²+m²)必须是完全平方数，可设(1002²+m²)=k²，整理为：
k²-m²=1002²
(k+m)(k-m)=2×2×3×3×167×167
显然k+m>k-m，二者奇偶性相同，所以有以下几种情形：
①
k-m=2
k+m=2×3×3×167×167=502002
解之，得：
k=251002
m=251000
②
k-m=2×3=6
k+m=2×3×167×167=167334
解之，得：
k=83670
m=83664
③
k-m=2×3×3=18
k+m=2×167×167=55778
解之，得：
k=27898
m=27880
④
k-m=2×167=334
k+m=2×3×3×167=3006
解之，得：
k=1670
m=1336
由以上不难看出，m最大为：m=251000，可求得此时最大的a为：
a=250000