Question

设A为n阶方阵，满足A²＝E，试证：R（E＋A）＋R（E-A）＝n

Answer 1

提供两个方法
因为A^2-E=0，所以x^2-1为A的零化多项式，由于x^2-1无重因式，所以A可对角化，显然1、-1为A的特征值
设A=P^（-1）BP，其中B=diag｛Er，-Es｝，则E+A=P^（-1）（E+B）P，其中E+B=diag｛2Er，0｝
，E-A=P^（-1）（E-B）P，其中E-B=diag｛0，2Es｝根据相似矩阵秩相同，可得r（E+A）+r（E-A）=r+s=n

追答

如果没学到相关内容，单用矩阵秩的关系也可以
引理：
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0，则r（A）+r（B）=r（E+A+E-A）=r（2E）=n
又E-A^2=（E+A）（E-A）=0
从而利用（2）可得r（E+A）+r（E-A）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n

追问

…呃…这题后来自己做了…第一个没学到…第二个还好…谢谢了

Answer 2

是的

追问

问证明过程啊亲