Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，圆O是它的内切圆，与AB,BC,CA分别且于点D，E，F，若AB=3,AC=4,求圆O的半径

要详细过程，追加分数

Answer 1

连接OD、OE、OF、由题意可知它们分别垂直于三边，连接OA,OB,OC
因为AB=3,AC=4，所以BC=5
S△ABC=1/2AB×AC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=1/2AB×OD+1/2BC×OE+1/2AC×OF
由题意可得OD=OE=OF
所以1/2×3×4=1/2OD(AB+BC+AC)=1/2(3+4+5)=6
得OD=1即半径为1

Answer 2

可以有几种解法，最简单的解法是列出分部面积之和等于总面积的方程来求解。
首先，连接AQ、BQ、CQ，可以见到，S△ABC=S△AQC+S△AQB+S△BQC。
设内切圆半径为r,由于切线垂直于过切点的半径，故可根据上述等式列出如下方程：
3×4/2=3r/2+4r/2+5r/2
变形，12=3r+4r+5r=12r,则r=1
即：圆O的半径为1.
一般地，若一个直角三角形三边长分别为a、b、c(斜边),则其内切圆半径r=ab/(a+b+c)

Answer 3

首先，图中字母有误，Q 应该为 O 。
设内切圆半径为 r。
连接 OD，OF，那么 OD=OF=r。
且 OD⊥AB，OE⊥AC，另外，∠A为直角
所以 四边形ADOF为正方形，AD=AF=r
Rt△ABC，AB=3，AC=4，根据勾股定理得 BC=5
根据“由同一点所作的圆的两条切线相等”可知
BE=BD=AB-AD=3-r
CE=CF=AC-AF=4-r
又 BE+CE=BC=5，所以
（3-r）+（4-r）=5
所以，r=1
即内切圆半径为 1 。

Answer 4

连结EQ AE
可证三角形adq全等三角形aeq
得ad=dq=ae=eq
同理可证bd1=be1
fc1=ec
bc1=5
因be+ec=bc=5
设ad=x
得3-x+4-x=5
x=1

追问

bd1=be1 1是什么

Answer 5

设圆O半径为R，连接AQ，BQ，CQ，则S△ABC=S△AQB+S△AQC+S△BQC=ABXR÷2+ACXR÷2+BCXR÷2=(AB+AC+BC)XR÷2=ABxAC÷2，根据已知条件，可求得R=1