Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且有S n = 1 2 n 2 + 11 2 n，数列{b n }满足b n

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且有S n = 1 2 n 2 + 11 2 n，数列{b n }满足b n+2 -2b n+1 +b n =0（n∈N * ），且b 3 =11，前9项和为153；（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设c n = 3 ( 2a n -11)( 2b n -1) ，数列{c n }的前n项和为T n ，求使不等式T n ＞ k 57 对一切n∈N * 都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

（1）因为S n = 1 2 n 2 + 11 2 n，故 当n≥2时，a n =S n -S n-1 =n+5；当n=11时，a 1 =S 1 =6；满足上式； 所以a n =n+5， （2）又因为b n+2 -2b n+1 +b n =0，所以数列{b n }为等差数列； 由S 9 = 9( b 3 + b 7 ) 2 =153，b 3 =11，故b 7 =23；所以公差d= 23-11 7-3 =3； 所以：b n =b 3 +（n-3）d=3n+2； （3）由（1）知：C n = 3 (2 a n -11)(2 b n -1) = 1 (2n-1)(2n+1) ， 而C n = 3 (2 a n -11)(2 b n -1) = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 （ 1 2n-1 - 1 2n+1 ） 所以：T n =c 1 +c 2 +c 3 +c 4 +…+c n = 1 2 [1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 ] = 1 2 （1- 1 2n+1 ）= n 2n+1 ， 又因为T n+1 -T n = n+1 2n+3 - n 2n+1 = 1 (2n+3)(2n+1) ＞0； 所以{T n }是单调递增，故（T n ） min =T 1 = 1 3 ； 由题意可知 1 3 ＞ k 57 ；得k＜19，所以k的最大正整数为18；