Question

已知z是复数， z+2i， z 2-i 均为实数（i为虚数单位）．（1）求z；（2）如果复数（z-ai） 2 在

已知z是复数， z+2i， z 2-i 均为实数（i为虚数单位）．（1）求z；（2）如果复数（z-ai） 2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设z=x+yi（x、y∈R），…（1分）∵z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2．…（3分） ∵ z 2-i = x-2i 2-i = 1 5 (x-2i)(2+i)= 1 5 (2x+2)+ 1 5 (x-4)i  为实数，可得x=4，∴z=4-2i．…（6分） （2）∵（z-ai） 2 =（-a 2 -4a+12）-8（a+2）i，对应点在第一象限，…′（8分） 可知 - a 2 -4a+12＞0 -8(a+2)＞0 ，即： a 2 +4a-12＞0 a+2＜0 ，…（10分） 解得 -6＜a＜2 a＜-2 ，∴-6＜a＜-2， 即实数a的取值范围是（-6，-2）．…（12分）