Question

如图所示，轻质杠杆AD用两根软绳悬挂于天花板上，两绳分别系在杠杆上的B、C两点．已知杠杆的长度为0.8m，

如图所示，轻质杠杆AD用两根软绳悬挂于天花板上，两绳分别系在杠杆上的B、C两点．已知杠杆的长度为0.8m，BC间的距离为0.2m，CD间的距离为0.2m．用细绳将滑轮组固定在杠杆的A端，物体E（其质量可变）挂在动滑轮的挂钩上，每个滑轮重均为60N．物体H通过细绳挂在杠杆的D端，其质量始终保持不变．为使杠杆AD保持水平平衡，滑轮组所能提升重物E的最大质量m1与最小质量m2之比为4：1．杠杆、细绳的质量及一切摩擦均可忽略不计，取g=10N/kg．求：（1）滑轮组对杠杆A端的最大拉力FA1与最小拉力FA2之比；（2）重物E的最大质量m1；（3）滑轮组的最小机械效率．（百分号前保留整数）

Answer 1

（1）以B点为支点时，滑轮组对杠杆A端有最大拉力F_A1；以C点为支点时，滑轮组对杠杆A端有最小拉力F_A2；
由图中距离关系可知：AB=0.4m，AC=0.6m，BD=0.4m
根据杠杆平衡条件：
    F_A1×AB=G_H×BD；①
    F_A2×AC=G_H×CD；②
①：②得出：F_A1：F_A2=3：1；
（2）以定滑轮为研究对象，滑轮组对杠杆A端的最大拉力F_A1与等于定滑轮的重力与3段绳子所产生的拉力3F₁之和； 即F_A1=3F₁+G_定 ；①
最小拉力F_A2等于定滑轮的重力与3段绳子所产生的拉力3F₂之和；  即F_A2=3F₂+G_定；②
以两个动滑轮和物体E整体为研究对象，受力分析；物体的最大重力为G₁；得到方程4F₁=G₁+2G_动；整理可得
GG₁=4F₁-2G_动；③
物体的最小重力为G₂；得到方程4F₂=G₂+2G_动；整理可得G₂=4F₂-2G_动；④
因为F_A1：F_A2=3：1=（3F₁+G_定）：（3F₂+G_定）
所以

3F1+60N

3F2+60N

=

3

1

；
解得：F₁=3F₂+40N；⑤
因为m₁：m₂=4：1，所以G₁：G₂=m₁：m₂=4：1；

G1

G2

=

4F1?2×60N

4F2?2×60N

=

4

1

；⑥
解得：F₂=130N；F₁=430N；
G₁=1600N；
所以重物E的最大质量mm₁=

G1

g

=

1600N

10N/kg

=160kg；
（3）因为G₁：G₂=4：1，所以G₂=

G1

4

=

1600N

4

=400N；
滑轮组的机械效率最小时，提升的物体的重力最小，最小重力为400N；
最小机械效率η=

W有用

W总

=

G2h

(G2+2G动)h

=

G2

(G2+2G动)

=

400N

400N+2×60N

×100%≈77%．
答：（1）滑轮组对杠杆A端的最大拉力F_A1与最小拉力F_A2之比为3：1；
（2）重物E的最大质量m₁为160kg；
（3）滑轮组的最小机械效率为77%．