Question

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：?1a＜g(a)＜0．

Answer 1

（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 f′(x)＝

a(x? 1 a )

x+1

，
∵a＞0，x＞-1，∴当 ?1＜x＜

1

a

时，f'（x）＜0，
当 x＞

1

a

时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 (?1，

1

a

)，单调递增区间是 (

1

a

，+∞)．     
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 g(a)＝f(

1

a

)＝1?(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0． 
要证明 ?

1

a

＜g(a)＜0，
只须证明

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．            
设 φ(x)＝ln(x+1)?

x

x+1

，x∈（0，+∞）．                               
则 φ′(x)＝

1

x+1

?

1

(1+x)2

＝

x

(1+x)2

＞0，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞

x

x+1

．
取 x＝

1

a

得到

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)成立．                   
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 x＝

1

a

得到 ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．因此，?

1

a

＜g(a)＜0．