Question

【1】如图，在△ABC中，AD=AE,BD=CE,求证AB=AC,求高手答题！

【1】如图，在△ABC中，AD=AE,BD=CE,求证AB=AC,求高手答题！

【2】如图，Rt△ABC中，角C=90°，BD平分角ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，若DE=1cm，求AC的长。

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Answer 1

（1）因为 AD=AE
所以 ∠ADE=∠AED
∴∠BDA=∠AEC
由 AD=AE ∠ADB=∠AEC BD=CE 得△ADB≌△AEC
所以AB=AC
（2）∵DE⊥AB
∴∠DEB=∠DCB=90°
∵BD是∠CBA的角平分线
∴∠CBD=∠EBD
由∠CBD=∠EBD BD=BD ∠DEB=∠DCB=90° 得△DEB≌△DCB
∴ DE=DC=1 EB=CB
又DE垂直平分AB
∴AE=BE DB=AD
设EB=x=AE=BC
则BD=AD=根号(DE^2+EB^2)=根号（x^2+1）
AC=AD+CD=根号（x^2+1）+1
由勾股定理
AC^2+BC^2=AB^2
x^2+x^2+1+2根号（x^2+1）+1=4x^2
2x^2-2=2根号（x^2+1）
x^2-1=根号（x^2+1）
x^4-2x^2+1=x^2+1
x^4-3x^2=0
x>0 x=根号（3）
∴AC=3

Answer 2

【1】证明：
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）
又∵AD=AE，BD=CE
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴AB=AC
【2】
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
AE=BE
∠DEB=90°=∠C
∵BD平分∠ABC
∴∠EBD=∠CBD
又∵BD=BD
∴△BCD≌△BED（AAS）
∴BC=BE，CD=DE=1
设AD=BD=x，则BC=√（BD²-CD²）=√（x²-1）
AB=AE+BE=2BC=2√（x²-1）
AC=x+1
由AB²=AC²+BC²可得
4（x²-1）=（x+1）²+（x²-1）
4x²-4=2x²+2x
x²-x-2=0
（x+1）（x-2）=0
x=2
AC=x+1=3