Question

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= 1 2 ∠ABC（0°＜∠CBE＜

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= 1 2 ∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ 1 2 ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE．（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= 1 2 ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE 2 =AD 2 +EC 2 ．

Answer 1

（1）证明：∵∠DBE= 1 2 ∠ABC， ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= 1 2 ∠ABC， ∵△ABE′由△CBE旋转而成， ∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE， ∴∠DBE′=∠DBE， 在△DBE与△DBE′中， ∵ BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD ， ∴△DBE≌△DBE′， ∴DE′=DE； （2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′， ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCE=45°， ∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合， ∴AE′=EC， ∴∠E′AB=∠BCE=45°， ∴∠DAE′=90°， 在Rt△ADE′中，DE′ 2 =AE′ 2 +AD 2 ， ∵AE′=EC， ∴DE′ 2 =EC 2 +AD 2 ， 同（1）可得DE=DE′， ∴DE′ 2 =AD 2 +EC 2 ， ∴DE 2 =AD 2 +EC 2 ．