Question

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC= 25 2 ，O为BC上一点，BO= 7 2 ，如图所示，以BC所在

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC= 25 2 ，O为BC上一点，BO= 7 2 ，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

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Answer 1

（1）符合条件的等腰△OMP只有1个； 点P的坐标为（ 1 2 ，4）； （2）符合条件的等腰△OMP有4个． 如图②，在△OP 1 M中，OP 1 =OM=4， 在Rt△OBP 1 中，BO= 7 2 ， BP 1 = O P 21 -O B 2 = 4 2 - ( 7 2 ) 2 = 15 2 ， ∴P 1 （- 7 2 ， 15 2 ）；（5分） 在Rt△OMP 2 中，OP 2 =OM=4， ∴P 2 （0，4）； 在△OMP 3 中，MP 3 =OP 3 ， ∴点P 3 在OM的垂直平分线上， ∵OM=4， ∴P 3 （2，4）； 在Rt△OMP 4 中，OM=MP 4 =4， ∴P 4 （4，4）； （3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个． 点P的位置如图③所示．