凸 边形 中的每条边和每条对角线都被染为 n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的 n ，存在一种染色方式，
凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形的顶...
凸 边形 中的每条边和每条对角线都被染为 n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的 n ，存在一种染色方式，使得对于这 n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？
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| 见解析 |
| 当
  为奇数时，存在合乎要求的染法；当  为偶数时，不存在所述的染法。每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为  个，而颜色的三三搭配也刚好有 种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成  种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在 个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有 条．当 为偶数时， 不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设 为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸 边形的各个顶点依次记为 ．对于 ，按 理解顶点 ．再将 种颜色分别记为颜色 ．将边  染为颜色 ，其中 ．再对每个 ，都将线段（对角线） 染为颜色 ，其中 ．于是每种颜色的线段都刚好有 条．注意，在我们的染色方法之下，线段 与 同色，当且仅当 ． ①因此，对任何  ，任何 ，线段 都不与 同色．换言之，如果 ． ②则线段 都不与 同色．任取两个三角形  和 ，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设 与 同色．情形1：如果  与 也同色，
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