Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-2|+a．（1）当a=2时，求f（x）＞4的解集；（2）若关于x的不等式f（x）-|x-4|＜0

已知函数f（x）=|x-a|+|x-2|+a．（1）当a=2时，求f（x）＞4的解集；（2）若关于x的不等式f（x）-|x-4|＜0在x∈（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当a=2时，由f（x）=2|x-2|+2＞4，得|x-2|＞1，
所以x-2＜-1或x-2＞1，…（2分）
即x＜1或x＞3，
所以f（x）＞4的解集为{x|x＜1或x＞3}； …（4分）
（2）由题意得：|x-a|+|x-2|+a-|x-4|＜0 在区间（1，2）上恒成立，
∴|x-a|+2-x+a-4+x＜0，…（6分）
即|x-a|＜2-a，∴

a＜2 (x?a)2＜(2?a)2

?

a＜2 x2?4＜2a(x?2)

，
又因为x∈（1，2），所以a＜

x+2

2

，
又f（x）-|x-4|＜0区间（1，2）上恒成立，
所以a≤

3

2

…（10分）