Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）∠ABC=______度；（2）求证

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）∠ABC=______度；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当AO=4时，求劣弧AC的长．

Answer 1

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．    
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为

120×π×4

180

＝

8

3

π．