Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+3asinC=b+c，（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+3asinC=b+c，（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）已知等式acosC+

3

asinC=b+c，
利用正弦定理化简得：sinAcosC+

3

sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
整理得：

3

sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，∴

3

sinA-cosA=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）由余弦定理得：a²=4=b²+c²-2bccos

π

3

，即4+bc=b²+c²≥2bc，
∴bc≤4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为

3

．