Question

高等代数关于直和的一个问题（详见图片）

Answer 1

(1)W1就是像空间Im(A)，W2就是核空间Ker(A)，易证是子空间
(2)dimKer(A)+dimIm(A)=n
只要证明 Ker(A) ∩ Im(A) = {0} 即可
设y属于上述交，
则由于y属于Im(A)，存在x属于P，使得Ax=y，…………(1)
又由于y属于Ker(A)，则Ay=0………………………………(2)
又由于A^2=A…………………………………………………(3)
y=Ax=A^2 x=Ay=0
即 Ker(A) ∩ Im(A) = {0}
证毕