Question

如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周

如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为 . （1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则 =_______；（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则 的取值范围是 .小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将 以AC边为轴翻折一次得 ，再将 以 为轴翻折一次得 ，如图2所示. 则由轴对称的性质可知， ，根据两点之间线段最短，可得 . 老师听了后说：“你的想法很好，但 的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

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Answer 1

解：（1） ;     ……………………………2分 （2） .     .……………………………5分

分析：（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案； （2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可． 解：（1）∵等边△ABC的边长为1， ∴AB=AC=BC=1， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点， ∴DE= AC= ，EF= AB= ，DF= BC= ， ∴△DEF的周长为p= + + = ； （2） 根据题意与由轴对称的性质可知，D 2 F 2 +F 2 E 3 +E 3 D 4 =p， ∵D 2 与D 4 分别是A 1 B 1 与A 2 B 2 的中点时D 2 、F 2 、E 3 、D 4 共线， ∴当D 2 与D 4 分别是A 1 B 1 与A 2 B 2 的中点时，p最小值为： （A 1 B 2 +A 2 B 1 ）= ， ∵p＜AB+AC+BC=3， ∴p的取值范围是： ≤p＜3． 故答案为：（1） ，（2） ≤p＜3．