Question

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ= 3 /6，g=10m/s 2 ，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度；（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量．

Answer 1

（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，由 mgR= 1 2 m υ 2 F N -mg=m υ 2 R 得：F N =3mg=3×1×10N=30N   根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N． （2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为υ 1 ，B点到D点的距离为L 1 mgLsin3 0 o -μmgcos3 0 o L= 1 2 m υ 21 -mg L 1 sin3 0 o -μmgcos3 0 o L 1 =0- 1 2 m υ 21 代入数据解得： L 1 = 1 3 L =0.9m   则质点从A点到D点下降的高度h=0.9m   （3）设质点第2次由B点沿斜面上滑的速度为υ 2 ，沿斜面上滑的距离为L 2 ．则 mg L 1 sin3 0 o -μmgcos3 0 o L 1 = 1 2 m υ 22 -mg L 2 sin3 0 o -μmgcos3 0 o L 2 =0- 1 2 m υ 22 得： L 2 = 1 3 L 1 同理可推得：质点第n次由B点沿斜面上滑的距离L n 为 L n = 1 3 L n-1 =( 1 3 ) n L 所以质点从开始到第6次经过B点的过程中，在斜面上通过的路程为 S=L+2（L 1 +L 2 ）=5.1m   Q=μmgcos30°S=12.75J    答：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N． （2）质点从A到D的过程中质点下降的高度为0.9m． （3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量为12.75J．