已知函数f（x）=loga1?mxx?1是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）
已知函数f（x）=loga1?mxx?1是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．（3）当a＞1，x∈（r，...
已知函数f（x）=loga1?mxx?1是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．
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（1）由f（x）=loga
是奇函数得
f（-x）=-f（x）
即loga
+loga
=0
log a
=0即m=-1（m=1舍去）
（2）由（1）得，f（x）=loga
（a＞0，a≠1），
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，令t（x）=
，
则t（x1）-t（x2）=
?
=
∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2
∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0
∴t（x1）＞t（x2）
∴当a＞1时，loga
＞loga
，
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga
=loga
=1，即
=a，…（16分）
所以a=2+
且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+
| 1?mx |
| x?1 |
f（-x）=-f（x）
即loga
| 1?mx |
| x?1 |
| mx+1 |
| ?x?1 |
log a
| 1?m2x2 |
| 1?x2 |
（2）由（1）得，f（x）=loga
| x+1 |
| x?1 |
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，令t（x）=
| x+1 |
| x?1 |
则t（x1）-t（x2）=
| x1+1 |
| x1?1 |
| x2+1 |
| x2?1 |
| 2(x2?x1) |
| (x1?1)(x2?1) |
∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2
∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0
∴t（x1）＞t（x2）
∴当a＞1时，loga
| x1+1 |
| x1?1 |
| x2+1 |
| x2?1 |
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga
| 1+a?2 |
| a?2?1 |
| a?1 |
| a?3 |
| a?1 |
| a?3 |
所以a=2+
| 3 |
2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+
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