已知函数f(x)=loga1?mxx?1是奇函数.(a>0,且a≠1)(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)
已知函数f(x)=loga1?mxx?1是奇函数.(a>0,且a≠1)(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.(3)当a>1,x∈(r,...
已知函数f(x)=loga1?mxx?1是奇函数.(a>0,且a≠1)(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.(3)当a>1,x∈(r,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求a与r的值.
展开
展开全部
(1)由f(x)=loga
是奇函数得
f(-x)=-f(x)
即loga
+loga
=0
log a
=0即m=-1(m=1舍去)
(2)由(1)得,f(x)=loga
(a>0,a≠1),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,令t(x)=
,
则t(x1)-t(x2)=
?
=
∵x1>1,x2>1,x1<x2
∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0
∴t(x1)>t(x2)
∴当a>1时,loga
>loga
,
f(x)在(1,+∞)上是减函数;当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)因为x∈(r,a-2),定义域D=(-∞,-1)∪(1,+∞),
1°当r≥1时,则1≤r<a-2,即a>3,…(14分)
所以f(x)在(r,a-2)上为减函数,值域恰为(1,+∞),所以f(a-2)=1,…(15分)
即loga
=loga
=1,即
=a,…(16分)
所以a=2+
且r=1 …(18分)
2°当r<1时,则(r,a-2)?(-∞,-1),所以0<a<1,这与a>1不合,
所以a=2+
1?mx |
x?1 |
f(-x)=-f(x)
即loga
1?mx |
x?1 |
mx+1 |
?x?1 |
log a
1?m2x2 |
1?x2 |
(2)由(1)得,f(x)=loga
x+1 |
x?1 |
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,令t(x)=
x+1 |
x?1 |
则t(x1)-t(x2)=
x1+1 |
x1?1 |
x2+1 |
x2?1 |
2(x2?x1) |
(x1?1)(x2?1) |
∵x1>1,x2>1,x1<x2
∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0
∴t(x1)>t(x2)
∴当a>1时,loga
x1+1 |
x1?1 |
x2+1 |
x2?1 |
f(x)在(1,+∞)上是减函数;当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)因为x∈(r,a-2),定义域D=(-∞,-1)∪(1,+∞),
1°当r≥1时,则1≤r<a-2,即a>3,…(14分)
所以f(x)在(r,a-2)上为减函数,值域恰为(1,+∞),所以f(a-2)=1,…(15分)
即loga
1+a?2 |
a?2?1 |
a?1 |
a?3 |
a?1 |
a?3 |
所以a=2+
3 |
2°当r<1时,则(r,a-2)?(-∞,-1),所以0<a<1,这与a>1不合,
所以a=2+
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐:下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|