Question

已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（

已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．

Answer 1

（1）证明：△=（m+3）²-4（m+1）=m²+6m+9-4m-4=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+4＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0，
利用公式法解得：x=

?m?3± (m+1)2+4

2

，
要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）²+4是完全平方数，
设（m+1）²+4=a²，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，
∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，
可得

a+m+1＝2 a?m?1＝2.

或

a+m+1＝?2 a?m?1＝?2.

，
解得：

a＝2 m＝?1.

或

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