Question

如图,已知在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+mx+n 经过点A(3,0),B(0,3).

如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+mx+n 经过点A（3,0），B（0,3）.
(1)分别求出这条抛物线的解析式和直线AB的解析式。
（2）P是线段AB上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线与点M，设PM=h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并求h的最大值。
（3）若点E在（1）中抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A、O、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出满足条件的所有点F的坐标。

已经求出来抛物线解析式y=-x²+2x+3,直线解析式y=-x+3
求第三问，最好能够画图出来，有解析最好

Answer 1

(1)

过B(0, 3): n = 3

过A(3, 0): -9 + 3m + 3 = 0, m = 2

y = -x² + 2x + 3

AB: x/3 + y/3 = 1, x + y = 3

(2)

P(t, 3 - t), 0 < p < 3

M(t, -t²+ 2t + 3)

PM = h = -t²+ 2t + 3 - (3 - t) = -t² + 3t = -(t - 3/2)² + 9/4

h的最大值为9/4

(3)

y = -x² + 2x + 3 = -(x - 1)² + 4

对称轴x = 1

形成平行四边形有3种可能:

(i) OA为一边，F在对称轴左侧 （见图中的黑线)

OA = 3，FE||OA, FE = 3

则F的横坐标为1-3 = -2， F(-2, 5)

(ii) OA为一边，F在对称轴右侧 （见图中的绿线)

OA = 3，EF||OA, EF = 3

则F的横坐标为1+3 = 4， F(4, 5)

(iii) OA为一条对角线，令OA的中点为M(3/2, 0)

显然E在M的左方(含左上和左下), 于是F在M的右方(含右上和右下)
要使OEFA为平行四边形，只需M为EF的中点

显然F的横坐标必须为2, F(2, 3)

EF的方程为 (y - 0)/(3 - 0) = (x - 3/2)(2 - 3/2)

E(1, -3)

M的确为EF的中点。